已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=x3-2x．

已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=

x

3

-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
爱宏永远 1年前他留下的回答 已收到1个回答

走钢丝的猫 网友

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解题思路：（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f(−x)＝

−x

3

−2−x，由函数f（x）是奇函数，知f(x)＝

x

3

+2−x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f(1)＝−

5

3

＜f(0)＝0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．

（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f(-x)=
-x
3-2-x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(x)=
x
3+2-x，
综上所述f(x)=


x
3-2x(x＞0)
0(x=0)

x
3+2-x(x＜0) ．
（2）∵f(1)=-
5
3＜f(0)=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（x）是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-
1
3即为所求．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．

1年前他留下的回答

4

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