设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．（初二）
jonny077 1年前他留下的回答 已收到4个回答

luohou666 网友

该名网友总共回答了18个问题，此问答他的回答如下：采纳率：83.3%

解题思路：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，求出∠FCQ=∠FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出∠PEA=∠QFA，根据ASA推出△PEA和△QFA全等即可．

证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，
∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，
∵E，F，C，D共圆
∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°-∠FCD，
∵∠PAF=180-∠FAQ，
∴∠FCD=∠FAQ，
∴FCAQ四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED，
在△EPA和△FQA中


∠PEA＝∠QFA
AF＝AE
∠PAE＝∠QAF，
∴△EPA≌△FQA，
∴AP=AQ．

点评：
本题考点： 圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；轴对称的性质．

考点点评： 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出∠AEP=∠AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等．

1年前他留下的回答

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翡鸠 网友

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过B点作BF平行于PQ连接WF和FQ，所以BF是图中直径的垂径。

根据垂径定理可知：三角形WBF为等腰三角形，又因为之前作的是平行线，所以三角形WPQ和三角形WBF相似。

因为WA是它的高线（三线合一）所以AP=AQ.

1年前他留下的回答

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双鱼小老鼠39 网友

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这是蝴蝶定理。。初中生确实可以解。。不过要自己想出来就没那么简单了。。呵呵

1年前他留下的回答

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qhy6626020 网友

该名网友总共回答了18个问题，此问答他的回答如下：

怎么现在的初中题都变这么难了啊？

1年前他留下的回答

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