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（2014•鹰潭二模）已知数列[an}满足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1．

网站编辑：上海建站网　发布时间：2022-05-20 　点击数： 次
导读：（2014•鹰潭二模）已知数列[an}满足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1． （2014•鹰潭二模）已知数列[an}满足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（-1）n+1(an)−12，数列{bn}的前项和为Tn，求证：n2时，T2n-1＜ln2且T2n＞ln2．...

（2014•鹰潭二模）已知数列[an}满足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1．

（2014•鹰潭二模）已知数列[an}满足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（-1）n+1(an)−
1
2
，数列{bn}的前项和为Tn，求证：n≥2时，T2n-1＜ln2且T2n＞ln2． 偶坶基阿 1年前他留下的回答 已收到1个回答

cjf306 花朵

该名网友总共回答了25个问题，此问答他的回答如下：采纳率：96%

解题思路：（Ⅰ）由nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*），得
an+1
(n+1)(n+2)
＝
an
n(n+1)
+
1
(n+1)(n+2)
，（n∈N*），令cn＝
an
n(n+1)
由累加法求出an＝n2，n∈N+
（Ⅱ）易知：bn＝(−1)n+1
1
n
，n∈N+求出T2n=[1/n+1+
1
n+2
+…+
1
2n]，T2n−1＝T2n+
1
2n
＝
1
n
+
1
n+1
+…+
1
2n−1
利用导数先证不等式x＞0时，
x
x+1
＜ln(x+1)＜x

（Ⅰ）∵nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*），
∴
an+1
(n+1)(n+2)＝
an
n(n+1)+
1
(n+1)(n+2)，（n∈N*），
令cn＝
an
n(n+1)得，cn+1＝cn+
1
n+1−
1
n+2，c1＝
1
2
若n≥2，则cn=（cn-cn-1）+（cn-1-cn-2）+…+（c2-c1）+c1
=1−
1
n+1＝
n
n+1
当n=1时，c1＝
1
2也满足上式，故cn＝
n
n+1，n∈N+
所以 an＝n2，n∈N+…（6分）
（Ⅱ）易知：bn＝(−1)n+1
1
n，n∈N+
T2n＝1−
1
2+
1
3−
1
4+…+
1
2n−1−
1
2n
=1+
1
2+
1
3+
1
4+…+
1
2n−1−
1
2n−2(
1
2+
1
4+
1
6+…+
1
2n)
=[1/n+1+
1
n+2+…+
1
2n]
T2n−1＝T2n+

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的综合运用，解题时要注意公式的合理运用．

1年前他留下的回答

10

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