要过程的高一数学已知二次函数f(x)=ax的平方+bx(a,b为常数,且a不等于0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)

要过程的高一数学
已知二次函数f(x)=ax的平方+bx(a,b为常数,且a不等于0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根 （1)求f(x)的解析式 （2）是否存在实数m,n(m zwlslw12321 1年前他留下的回答 已收到1个回答

清水一叶 网友

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(1)
∵方程ax²+bx=2x有等根
即:ax²+(b-2)x=0有等根
∴△=(b-2)²-0=0
解得:b=2
∴f(x)=ax²+2x
∵f(x-1)=f(3-x)恒成立
∴a(x-1)²+2(x-1)=a(3-x)²+2(3-x)恒成立
∴ax²-2ax+a+2x-2=ax²-6ax+9a+6-2x恒成立
化简后,对应系数相等:
{4a+4=0
{8a+8=0
解得:
a=-1
∴f(x)=-x²+2x
(2)
f(x)=-(x-1)²+1≤1
∴4n≤1
即:n≤1/4
而抛物线y=-x²+2x的对称轴:x=1
∴当n≤1/4时,f(x)在[m,n]上为增函数
若满足题设条件的m,n存在,则
{f(m)=4m
{f(n)=4n
解得:
{m=0或-2
{n=0或-2
又∵m＜n≤1/4
∴{m=-2
{n=0
这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0]

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