帮忙总结函数的全部性质

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苦瓜阿呆 春芽

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高考数学基础知识汇总
第一部分 集合
（1）含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；
（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况.
（3）
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一,或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
注意：外函数 的定义域是内函数 的值域.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论.
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
⑵ 是奇函数 ；
⑶ 是偶函数 ；
⑷奇函数 在原点有定义,则 ；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
① 在区间 上是增函数 当 时有 ；
② 在区间 上是减函数 当 时有 ；
⑵单调性的判定
1 定义法：
注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；
③复合函数法（见2 （2））；
④图像法.
注：证明单调性主要用定义法和导数法.
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：
对定义域内的任意 ,若有 （其中 为非零常数）,则称函数 为周期函数, 为它的一个周期.
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期.
（2）三角函数的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑶函数周期的判定
①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ；
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ；
④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；
⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ；
⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；
⑻其它常用函数：
1 正比例函数： ；②反比例函数： ；特别的
2 函数 ；
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式： ；②顶点式： , 为顶点；
③零点式： .
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论.
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
1 平移变换：ⅰ ,2 ———“正左负右”
ⅱ ———“正上负下”；
3 伸缩变换：
ⅰ , （ ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍；
ⅱ , （ ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍；
4 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
5 翻转变换：
ⅰ ———右不动,右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；
ⅱ ———上不动,下向上翻（| |在 下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上,反之亦然；
注：
①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;
③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x= 对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x=a对称；
⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；
⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ .
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性：
ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；
ⅲ 为常数；
③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值.
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值.
14．（理科）定积分
⑴定积分的定义：
⑵定积分的性质：① （ 常数）；
② ；
③ （其中 .
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ；
3 求变速直线运动的路程： ；③求变力做功： .
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： .
2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ,设 则：

3．三角函数符号规律：一全正,二正弦,三两切,四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变,符号看象限”；
5．⑴ 对称轴： ；对称中心： ；
⑵ 对称轴： ；对称中心： ；
6．同角三角函数的基本关系： ；
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
② ③ .
8．二倍角公式：① ；
② ；③ .
9．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）
注：① ；② ；③ .
⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个.
10.几个公式:
⑴三角形面积公式： ；
⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R=
11．已知 时三角形解的个数的判定：
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 .
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h；
⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= .
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理.
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行.
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行.
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理.
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理.
注：理科还可用向量法.
4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
1 平移法：平移直线,2 构造三角形；
3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等,4 发现两条异面直线间的关系.
注：理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角.
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin .
注：理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.
⑶二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点）,作出平面角,再求解；
②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解；
③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小；
注：对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法；
理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角.
5.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段,再进行计算；
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段,再求解；
⑶点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键）,再求解；
5 等体积法；
理科还可用向量法： .
⑷球面距离：（步骤）
（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长.
6．结论：
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则S侧cos =S底；
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 .
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 .
⑸正四面体的性质：设棱长为 ,则正四面体的：
1 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内切2 球半径： ；外接球半径： ；
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
⑷两点式： ；⑸一般式： ,（A,B不全为0）.
（直线的方向向量：（ ,法向量（
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域,写目标函数；（3）确定目标函数的最优解.
3．两条直线的位置关系：
4．直线系
5．几个公式
⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,⊿ABC的重心G：（ ）；
⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离： ；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ；
6．圆的方程：
⑴标准方程：① ；② .
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法.
8．圆系：
⑴ ；
注：当 时表示两圆交线.
⑵ .
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）
① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外.
⑵直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）
① 相切；② 相交；③ 相离.
⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距, 表示两圆半径,且 ）
① 相离；② 外切；③ 相交；
④ 内切；⑤ 内含.
10．与圆有关的结论：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0.
第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆： ；
⑵双曲线： ；⑶抛物线：略
2．结论
⑴焦半径：①椭圆： （e为离心率）； （左“+”右“-”）；
②抛物线：
⑵弦长公式：
；
注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆： ；②抛物线： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：2p.
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线）；
⑷椭圆中的结论：
①内接矩形最大面积 ：2ab；
②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则 ；
③椭圆焦点三角形：． ,（ ）；．点 是 内心, 交 于点 ,则 ；
④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大；
⑸双曲线中的结论：
①双曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ；
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0）；
③双曲线焦点三角形：． ,（ ）；．P是双曲线 － =1(a＞0,b＞0)的左（右）支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ；
④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；
（6）抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：． x1x2= ；y1y2=－p2；
． ；．以AB为直径的圆与准线相切；．以AF（或BF）为直径的圆与 轴相切；． .
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：
． ； ． 恒过定点 ；
． 中点轨迹方程： ；． ,则 轨迹方程为： ；． .
③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则：
．当 时,顶点到点A距离最小,最小值为 ；．当 时,抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小,最小值为 .
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解.
注意以下问题：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1,y1)、B(x2,y2)；②作差得 ；③解决问题.
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法.
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则： ① a‖b(b≠0) a= b （ x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；
6 a•b的几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积.
⑶cos= ；
⑷三点共线的充要条件：P,A,B三点共线 ；
附：（理科）P,A,B,C四点共面 .
第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列 ；
⑵等比数列
；
2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差数列特有性质：
1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ； ；
2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ； ； ；
3 若 ；若 ；
若 .
3．数列通项的求法：
⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（ ；
⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（6）迭代法；
⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法.
注：当遇到 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式.
4．前 项和的求法：
⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法.
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质.
第九部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形, .
2．绝对值不等式：
3．不等式的性质：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；
；⑷ ； ；
；⑸ ；（6）
.
4．不等式等证明（主要）方法：
⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法.
第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；
⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z20时,变量 正相关；

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