已知函数f(x)=x²ln(ax)（a＞0）

已知函数f(x)=x²ln(ax)（a＞0）
(1)若f'(x)≤x²对任意的x＞0恒成立,求实数a的取值范围
（2）当a=1,设函数g(x)=f(x)/x,若x1,x2∈（1/e,1）,x1+x2＜1,求证x1x2＜（x1+x2）^4 李艳 1年前他留下的回答 已收到1个回答

胜井邦彰 春芽

该名网友总共回答了20个问题，此问答他的回答如下：采纳率：85%

（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x2,即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2lnax+1-xu′(x)=
2
x
-1=0,x=2,x＞2时,单调减,
x＜2单调增,所以x=2时,u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0,2ln2a+1≤2,所以0＜a≤
e

2
（5分）
（2）当a=1时,g(x)=
f(x)
x
=xlnx,g(x)=1+lnx=0,x=
1
e
,
所以在(
1
e
,+∞)上g（x）是增函数,(0,
1
e
)上是减函数（6分）
因为
1
e
＜x1＜x1+x2＜1,所以g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx1
即lnx1＜
x1+x2
x1
ln(x1+x2)
同理lnx2＜
x1+x2
x2
ln(x1+x2)（8分）
所以lnx1+lnx2＜(
x1+x2
x2
+
x1+x2
x1
)ln(x1+x2)=(2+
x1
x2
+
x2
x1
)ln(x1+x2)
又因为2+
x1
x2
+
x2
x1
≥4,当且仅当“x1=x2”时,取等号（10分）
又x1,x2∈(
1
e
,1),x1+x2＜1,ln（x1+x2）＜0（11分）
所以(2+
x1
x2
+
x2
x1
)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）
所以：x1x2＜（x1+x2）4（12分）

1年前他留下的回答

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