已知椭圆2x^2+y^2=8,求和此椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求出各点

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pingguoli1983 网友

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由椭圆方程可知,焦点在y轴上,设与此椭圆有公共焦点的双曲线方程为
y^2/b^2-x^2/a^2=1,
则a^2+b^2=8-4=4.
题中所给的椭圆和双曲线为对称图形,他们的交点所组成的四边形为矩形,
垂直的两边分别平行于x轴和y轴.
由椭圆方程得到：y^2=8-2x^2,代入双曲线方程中得到：
(2+b^2/a^2)x^2=8-b^2,该方程2根之差即为所求四边形的水平方向边长,
该边长为⊿x=2√(a^2(8-b^2)/(2a^2+b^2)).
由椭圆方程得到：x^2=4-y^2/2,代入双曲线方程中得到：
(1/2+a^2/b^2)y^2=a^2+4,该方程2根之差即为所求四边形的垂直方向边长,
该边长为⊿y=2√(2b^2(a^2+4)/(2a^2+b^2)).
四边形的面积S=⊿x*⊿y,∵a^2+b^2=4 ∴S=4√(8a^2-2a^4)
当根号内表达式对a的导数为0时,S有最大值,求得a=√2,S=8√2.
4个点分别为：(√2,2),(√2,-2),(-√2,2),(-√2,-2)

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