已知圆C1：x^2+y^2+6x=0关于直线L1：y=2x+1对称的圆为C

已知圆C1：x^2+y^2+6x=0关于直线L1：y=2x+1对称的圆为C
过点(-1,0)作直线L与圆C交于A,B两点,O是坐标原点.设OS=OA+OB(加粗的为向量）,直线L使四边形OASB的对角线相等.求所有满足条件的直线L的方程. chnwen197329 1年前他留下的回答 已收到1个回答

青竹清韵 网友

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圆C1(x+3)^2+y^2=3^2,圆心(-3,0)半径3圆C,圆心与(-3,0)连线,被直线y=2x+1垂直平分,所以该连线斜率是-1/2,所以连线方程是y= -1/2x-3/2 与直线L1交点坐标可求,为(-1,-1),所以圆心的坐标可求,为(1,-2)因此圆C的方程是(x-1)^2+(y+2)^2=3^2 根据向量的几何意义知道四边形OASB是平行四边形,因为对角线相等,∠AOB=∠AOS+∠BOS=∠OAB+∠OBA=∠SBA+∠OBA=∠OBS,所以∠AOB=∠OBS=90°,所以四边形OASB是矩形,也就是说OA⊥OB 直线过点(-1,0),是圆C外的一点,所以直线可设为斜率式y=k(x+1)OA⊥OB,即是[x(1),y(1)]*[x(2),y(2)]=0所以x(1)x(2)+y(1)y(2)=0将y=k(x+1)代入,有(1+k^2)x(1)x(2)+k^2[x(1)+x(2)]+k^2=0 直线L与圆的相交,联立直线L与圆C的方程,化成关于x的方程,(1+k^2)x^2+2(k^2+2k-1)x+(k^2+4k-4)=0 所以x(1)x(2)=(k^2+4k-4)/(1+k^2),x(1)+x(2)= -2(k^2+2k-1)/(1+k^2) (k^2+4k-4)-2k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)+k^2=0即是(k^2+2k-2)-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0(k^2+2k-1)-1-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0(k^2+2k-1)/(1+k^2)=1化简后2k-1=1k=1所以直线的方程是y=x+1

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