一元二次方程怎么解

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NSISAA 春芽

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解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法： 　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 　　1、直接开平方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m . 　　例1．解方程（1）(x-2)²=9（2）9x²-24x+16=11 　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解. 　　（1）(x-2)²=9 　　∴x-2=±√9 　　∴x-2=±3 　　∴x1=3+2 x2=-3+2 　　∴x1=5 x2=1 　　∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=﹙﹣√7-1﹚/3 　　（2） 9x²-24x+16=11 　　∴(3x-4)²=11 　　∴3x-4=±√11 　　∴x=﹙ 4±√11﹚/3 　　∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3,x2= ﹙4﹣√11﹚/3 　　2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 　　先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c 　　将二次项系数化为1：x²+b/ax=- c/a 　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 　　方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )²= -c/a﹢﹙b/2a）² 　　当b^2-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚^2; 　　∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 　　例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 　　将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 　　将二次项系数化为1：x^2-﹙4/3﹚x= ? 　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6）²=? +(4/6 ）² 　　配方：(x-4/6)^2= ? +(4/6 )^2 　　直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )^2 ] 　　∴x= 4/6± √[? +(4/6 )^2 ] 　　∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根. 　　例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5 　　将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 　　∴a=2, b=-8, c=5 　　b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0 　　∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/(2a) 　　∴原方程的解为x?=,x?= . 　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 　　例4．用因式分解法解下列方程： 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 　　(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） 　　(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解. 　　(2)2x2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=0,x2=-是原方程的解. 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. 　　(3)6x2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴x1=, x2=- 是原方程的解. 　　(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 　　小结： 　　一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数. 　　直接开平方法是最基本的方法. 　　公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解. 　　配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 　　解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）. 　　例5．用适当的方法解下列方程.(选学） 　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 　　（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 　　分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. 　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. 　　（3）化成一般形式后利用公式法解. 　　（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解. 　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 　　(5x-5)(-x+13)=0 　　5x-5=0或-x+13=0 　　∴x1=1,x2=13 　　（2） x2+(2- )x+ -3=0 　　[x-(-3)](x-1)=0 　　x-(-3)=0或x-1=0 　　∴x1=-3,x2=1 　　（3）x2-2 x=- 　　x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) 　　△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 　　∴x= 　　∴x1=,x2= 　　（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 　　∴x1= ,x2= 　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学） 　　分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法） 　　[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 　　即 (5x-5)(2x-3)=0 　　∴5(x-1)(2x-3)=0 　　(x-1)(2x-3)=0 　　∴x-1=0或2x-3=0 　　∴x1=1,x2=是原方程的解. 　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 　　x2+px+q=0可变形为 　　x2+px=-q (常数项移到方程右边) 　　x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) 　　(x+)2= (配方) 　　当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） 　　∴x=- ±= 　　∴x1= ,x2= 　　当p2-4q

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tonick2008 网友

该名网友总共回答了1个问题，此问答他的回答如下：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。 　　　一元二次方程有四个特点： 　　(1)含有一个未知数； 　　(2)且未知数次数最高次数是2； 　　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，...

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