如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．

如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．

（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度． kobejw 1年前他留下的回答 已收到1个回答

huaubg 春芽

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：（1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；
（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．

（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，
∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，
（2）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，


AC＝BC
∠ACD＝∠BCP
CP＝CD，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC；
（3）∵△PCD和△ABC都为等边三角形，
∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，
又∵∠DMC=∠CMA，
∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，
设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x
∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，
∴△BPM∽△ACM，
∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，
解得x=
−1±
13
3（舍去负号），
则x=
−1+
13
3，
∴CM=
−2+2
13
3．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．

1年前他留下的回答

9

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