初中数学分式讲堂

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于亚亮_ll 网友

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分式
第一节 分式的基本概念
形如A/B,A、B是整式,B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction).其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是A/B的形式,关键要满足. （1）分式的分母中必须含有未知数.（2）分母的值不能为零,如果分母的值为零,那么分式无意义.由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.整式和分式统称为有理式. 带有根号的式子叫做无理式,无理式和有理式统称代数式
1.约分： 把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去,这种变形称为约分. 2.分式的乘法法则： 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.3. 分式的加减法法则： 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.4.通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3,2*2/3*2! 5.异分母分式的加减法法则： 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.(1).定义：一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子 A/B 叫做分式（fraction）. 注：A/B=A×1/B (2).组成：在分式 中A称为分式的分子,B称为分式的分母. (3).意义：对于任意一个分式,分母都不能为0,否则分式无意义. (4).分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下,分子等于0,则分式值为0. 注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据；③在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言.而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件.
第二节 分式的基本性质和变形应用
1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式,分式的值不变.用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C为整式,且C≠0） 2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分． 3.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 4.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 5.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分. 6.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积. 注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质2.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程.
编辑本段第三节 分式的四则运算
1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2).除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c
第四节 分式方程
1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式方程的解法
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）,将分式方程化为 正式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项, 系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根.否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是增根,则原方程无解. 如果分式本身约分了,也要带进去检验. 在列分式方程解应用题时,不仅要检验所的解是否满足方程式,还要检验是否符合题意. 一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解. 归纳： 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法.
例题： （1）x/(x+1)=2x/(3x+3)+1 两边乘3(x+1) 3x=2x+(3x+3) 3x=5x+3 2x=-3 x=-3/2 分式方程要检验 经检验,x=-3/2是方程的解 （2）2/（x-1）=4/（x^2-1） 两边乘(x+1)(x-1) 2(x+1)=4 2x+2=4 2x=2 x=1 分式方程要检验 把x=1带入原方程,使分母为0,是增根. 所以原方程2/x-1=4/x^2-1 无解 一定要检验! 检验格式：把x=a 带入最简公分母,若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根. 注意：可凭经验判断是否有解.若有解,带入所有分母计算：若无解,带入无解分母即可

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翡翠涟漪 网友

该名网友总共回答了3个问题，此问答他的回答如下：

一、前置自学（自学课本 4-6页内容，并完成下列问题）
1、 分数的基本性质： 。
2．把下列分数化为最简分数：（1） =________；（2） =_______；（3） =________．
3、类比分数的基本性质得到分式的基本性质： ...

1年前他留下的回答

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