设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
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罗兵汉 网友

该名网友总共回答了13个问题，此问答他的回答如下：采纳率：84.6%

解题思路：先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
得证．

证明：如图因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（[p/2]，0），
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+
p
2；
代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，
所以y₁y₂=-p²．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-[p/2]上，
所以点c的坐标为（-[p/2]，y₂），
故直线CO的斜率为k=
y2
-
p
2=
2p
y1=
y1
x1．
即k也是直线OA的斜率，
当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．
所以直线AC经过原点O．

点评：
本题考点： 抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．

1年前他留下的回答

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