若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f(4)＝

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时，解不等式f(x−3)•f(5−x2)≤

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． 晴心无尘 1年前他留下的回答 已收到4个回答

聪明大熊 网友

该名网友总共回答了22个问题，此问答他的回答如下：采纳率：81.8%

解题思路：（1）只要证明x=0和x＞0时，f（x）＞0．原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），可求出f（0）=1，再令a和b互为相反数可解．
（2）抽象函数单调性判断只能利用定义，先任取两个自变量，再利用做差或做商法比较两函数值的大小即可．
（3）利用已知等式可（2）中的单调性去掉f符号，转化为x的二次不等式求解即可．

（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=[1
f(−x)，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₂=x₁+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+m）-f（x₁）=f（x₁）•f（m）-f（x₁）=f（x₁）（f（m）-1）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)＝
1/16]得f（2）=[1/4]，f(x−3)•f(5−x2)≤
1
4，即f（x-3+5-x²）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x²≥2，即x-x²≥0，所以x∈[0，1]．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查抽象函数的单调性的判断和利用函数的单调性解不等式，综合性较强．

1年前他留下的回答

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aa201999 网友

该名网友总共回答了4个问题，此问答他的回答如下：

(1)f(x+0)=f(x)*f(0)
f(0)=1
f(0)=f(x)*f(-x)=1
当x<0,f(x)>1 所以当x>0,0 综上，f(x)>0
(2)△x>0,f(a+△x)-f(a)=f(a)[f(△x)-1]
因为△x>0.f(△x)<1
所以f(△x)-1<0,f(a+△...

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紫焰流星 网友

该名网友总共回答了20个问题，此问答他的回答如下：

1.由题，f（0）=f（0）*f（0）解得f（0）=1
f（0）=1=f（a）*f（-a），f（a）=1/f（-a）
当x小于0时，有f（x）大于1.
设当x大于0时，-x小于0，f（-x）大于1，又因为f（-x）=1/f（x）
所以f（x）大于0，小于1。
综上：x=R时，f（x）大于0恒成立
2.设x1小于x2，代入方程：f（x1）-f（x2）=...

1年前他留下的回答

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住在一楼 网友

该名网友总共回答了436个问题，此问答他的回答如下：

（1）求证：f(x)＞0；
f(x)=f(x/2)+f(x/2)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)>=0
f(x)≠0
f(x)>0
（2）求证：f(x)为减函数；
uf(u)-f(v)
=f(v+(u-v))-f(v)
=f(v)f(u-v)-f(v)
=f(v)[f(u-v)-1]
f(v)>0,

1年前他留下的回答

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