如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接A

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长． 清心可恕 1年前他留下的回答 已收到1个回答

边城的守望者 网友

该名网友总共回答了14个问题，此问答他的回答如下：采纳率：92.9%

解题思路：（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可；
（2）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²-BF²，推出FG²-4FG-12=0，求出FG即可．

（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴[AE/AF]=[CE/DF]，
∴AE•FD=AF•EC．
（2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴[CE/DF]=[AE/AF]，[AE/AF]=[EH/BF]，
∴[CE/DF]=[AE/AF]=[EH/BF]，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF=BF．
（3）∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证），
FB=FE=2，
∴由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，
∴FG²-4FG-12=0，
解得：FG=6，FG=-2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG=
62−22=4
2，
∴⊙O的半径是2
2．

点评：
本题考点： 切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．

1年前他留下的回答

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