某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°<α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
请你从中任选一种方法进行证明；
（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立，先请你继续研究：当135°<α<180°时（如图4）等量关系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
chenchunbo 1年前他留下的回答 已收到1个回答

sirmepc 网友

该名网友总共回答了22个问题，此问答他的回答如下：采纳率：95.5%

解题思路：（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．
（3）成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．当135°＜α＜180°时，等量关系BD²+CE2=DE²仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．

（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）（2）选择小颖的方法．
证明：如图2，连接EF．
由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE ，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．
（3）当135°<α<180°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立．证明如下：
如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∵

AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，∴BD²+CE²=DE²．

点评：
本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．

1年前他留下的回答

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