已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，an=f（an-1）

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）试研究数列{a_n}为等比数列的条件，并证明你的结论． gb987 1年前他留下的回答 已收到4个回答

夏日里的石头 花朵

该名网友总共回答了20个问题，此问答他的回答如下：采纳率：95%

解题思路：（1）由题意知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），得a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），由此可知a_n-a_n-1=k（a_n-a_n-1），（n=2，3，4，），得k=1．
（2）由b₁=a₂-a₁≠0，知b₂=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0．因此b_n=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）═k^n-1（a₂-a₁）≠0，由此可知数列{b_n}是一个公比为k的等比数列．
（3）{a_n}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）；先进行充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则{a_n}是等比数列．再进行必要性证明：若{a_n}是等比数列，f（x）=kx（k≠1）．

（1）由已知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），得a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，）
由数列{a_n}是等差数列，得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n=2，3，4，）
所以，a_n-a_n-1=k（a_n-a_n-1），（n=2，3，4，），得k=1．（5分）
（2）由b₁=a₂-a₁≠0，可得b₂=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0．
且当n＞2时，b_n=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）═k^n-1（a₂-a₁）≠0
所以，当n≥2时，
bn
bn−1＝
an+1−an
an−an−1=
f(an)−f(an−1)
an−an−1＝
k(an−an−1)
an−an−1＝k，（4分）
因此，数列{b_n}是一个公比为k的等比数列．（1分）
（3）{a_n}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）（2分）
充分性证明：
若f（x）=kx（k≠1），则由已知a₁=a≠0，a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，）得a_n=ka_n-1（n=2，3，4，）
所以，{a_n}是等比数列．（2分）
必要性证明：若{a_n}是等比数列，由（2）知，b_n=k^n-1（a₂-a₁）（n∈N^*）b₁+b₂++b_n-1=（a₂-a₁）+（a₂-a₁）++（a_n-a_n-1）=a_n-a₁（n≥2），a_n=a₁+（b₁+b₂++b_n-1）．（1分）
当k=1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）（n-1）（n≥2）．
上式对n=1也成立，所以，数列{a_n}的通项公式为：a_n=a+（f（a）-a）（n-1）（n∈N^*）．
所以，当k=1时，数列{a_n}是以a为首项，f（a）-a为公差的等差数列．
所以，k≠1．（1分）
当k≠1时，an＝a1+(a2−a1)
1−kn−1
1−k（n≥2）．
上式对n=1也成立，所以，an＝a+(f(a)−a)
1−kn−1
1−k=a+
f(a)−a
1−k−
(f(a)−a)kn−1
1−k（1分）
所以，a+
f(a)−a
1−k＝0⇒f（a）=ka．（1分）
即，等式f（a）=ka对于任意实数a均成立．
所以，f（x）=kx（k≠1）．（1分）

点评：
本题考点： 等差数列的性质；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

1年前他留下的回答

8

weilappc 网友

该名网友总共回答了50个问题，此问答他的回答如下：

注意：
1、不等于——!=
2、数列通项——a_n(第n项),a_(n-1)(第n-1项)
3、x的n次幂——x^n

因为定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，an=f（an-1）且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）．其中a、k均为非零常数。
所以a_(n+1)-a_n=k(...

1年前他留下的回答

2

zy5122 网友

该名网友总共回答了511个问题，此问答他的回答如下：

（1）、f（an）-f（an-1）=a（n+1）-an=k[an-a（n-1）]；
{an}是等差数列，则：a（n+1）-an=an-a（n-1），即，k[an-a（n-1）]=an-a（n-1），得：k=1；
（2）、bn=a（n+1）-an=k[an-a（n-1）]=kb（n-1），数列{bn}为公比q=k的等比数列，
bn=b1*q^（n-1）=k^（n-1）；

1年前他留下的回答

1

万晶亭 网友

该名网友总共回答了2个问题，此问答他的回答如下：

老师果然专业

1年前他留下的回答

1

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