设a＞0,b＞0且a方＋2分之b方＝1,求a√1＋b方的最大值?

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虎妞水冰 网友

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x√(1+y)=√x√x√(1+y)≤(1/3)[x+x+1+y]

1年前他留下的回答 追问

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虎妞水冰

取x=a²，y=b²
则a√(1+b)=√a×√a×√(1+b)≤(1/3)[a+a+(1+b)]

虎妞水冰

错了，没看到平方。
取x=a²，y=b²
则a²√(1+b²)=a×a×√(1+b²)≤(1/3)[a²+a²+(1+b²)]=(1/3)[2a²+1+b²]=(2/3)[a²+1/2+(1/2)b²]=(2/3)[1+1/2]=1

虎妞水冰

完整的解法：
由n=3的均值不等式可以得出x√(1+y)=√x√x√(1+y)≤(1/3)[x+x+1+y]
取x=a²，y=b²
则a²√(1+b²)=a×a×√(1+b²)≤(1/3)[a²+a²+(1+b²)]=(1/3)[2a²+1+b²]=(2/3)[a²+1/2+(1/2)b²]=(2/3)[1+1/2]=1
等号成立当且仅当a=a=√(1+b²)，即a²=1+b²。

虎妞水冰

或者用多元函数微积分做取μ
令f(a,b)=a²+(1/2)b²-1，则f(a,b)=0
考虑F(a,b)=a√(1+b²)-f(a,b)
对a求偏导数，F’a=0
对b求偏导数，F’b=0
联立两个方程，求出它的解就是F的极值点，
再把所有的极值点和边界点，比较大小，则其中最大值为函数F的最大值

虎妞水冰

F(a,b)=a√(1+b²)-μf(a,b)

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