已知函数f（x）=2ax3-3x2，其中a＞0．

已知函数f（x）=2ax³-3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f^′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围． 海底深处_ 1年前他留下的回答 已收到1个回答

wt118 网友

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解题思路：（Ⅰ）求导函数，确定f′（x）＞0，即可证得函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），求导函数，令g′（x）=0，确定在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值，根据g（x）在x=0处取得最大值，即可确定求a的取值范围．

（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax-1）．
因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．…（6分）
（Ⅱ）由题意，g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax²+（2a-1）x-1]．…（8分）
令g′（x）=0，即ax²+（2a-1）x-1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，
由①得x₁x₂=-[1/a]，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x-x₁）（x-x₂）．
当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，
所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；
当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．…（10分）
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），
即0≥8a-9，解得a≤[9/8]，
又因为a＞0，所以a∈（0，[9/8]]．…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性与最值．

1年前他留下的回答

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