线性习题7）我解方程组有点迷茫,就是选最大无关组和自由未知量不会选,再往后就不会了.什么时候用最大无关组?什么时候用自由

线性习题
7）我解方程组有点迷茫,就是选最大无关组和自由未知量不会选,再往后就不会了.什么时候用最大无关组?什么时候用自由未知量?怎么用啊?用下面的题解析一下吧,麻烦了.
求解下列线性方程组
x1+2x2+x3-x4=0
3x1+6x2-x3-3x4=0
5x1+10x2+x3-5x4=0
另一道
4x1+2x2-x3=2
3x1-x2+2x3=10
11x1+3x2=8
最大无关组麻烦你举两个例题解析并告诉总么选,什么时候是,什么时候用用最大无关组?辛苦你了! 我们都是孤单的人 1年前他留下的回答 已收到1个回答

君特内策尔 网友

该名网友总共回答了13个问题，此问答他的回答如下：采纳率：92.3%

x1+2x2+x3-x4=0
3x1+6x2-x3-3x4=0
5x1+10x2+x3-5x4=0
系数矩阵A=
1 2 1 -1
3 6 -1 -3
5 10 1 -5
r2-3r1,r3-5r1
1 2 1 -1
0 0 -4 0
0 0 -4 0
r3-r2,r2*(-1/4),r1-r2
1 2 0 -1
0 0 1 0
0 0 0 0
非零行的首非零元所以列对应的是约束变量:x1,x3
其余的是自由未知量:x2,x4
得同解方程组:
x1 = -2x2+x4
x3 = 0
令 (x2,x4) 取 (1,0),(0,1) 得基础解系
a1=(-2,1,0,0)',a2=(1,0,0,1)'.
4x1+2x2-x3=2
3x1-x2+2x3=10
11x1+3x2=8
这是非齐次线性方程组
增广矩阵(A,b) =
4 2 -1 2
3 -1 2 10
11 3 0 8
r3-2r2-r2
4 2 -1 2
3 -1 2 10
0 0 0 -6
最后一行对应方程 0 = -6
所以方程组无解.

1年前他留下的回答 追问

8

我们都是孤单的人

麻烦再问一下是不是解齐次方程就用系数行列式化成行阶梯形求秩，在用方程个数n-秩就是自由未知量个数，再用自由未知量表示基础解系吧？非其次就是换成增广矩阵求秩，再在增广矩阵中求秩吧？ 解方程中的n就是方程的个数，r是系数矩阵的秩（齐次方程时），非其次方程时就是增广矩阵的秩，对不？不对请指正.n-r就是选的自由未知量的个数对不？ 已经提高10分悬赏以示感谢！

君特内策尔

1. 齐次线性方程组 自由未知量的个数 = 未知量的个数 n - 系数矩阵的秩 r(A) 再让自由未知量取一组 线性无关的数, 得到的一组解就是基础解系 2. 非齐次线性方程组 把增广矩阵 (A,b) 化成阶梯形, 得到 r(A) 与 r(A,b) 此时可知方程组解的情况: r(A)≠r(A,b) 时, 方程组无解. r(A) = r(A,b) = n (未知量的个数) 时, 方程组有唯一解 r(A) = r(A,b) < n (未知量的个数) 时, 方程组有无穷多解 此时, n-r就是自由未知量的个数

我们都是孤单的人

“再让自由未知量取一组 线性无关的数, 得到的一组解就是基础解系” 怎么取呢？还有第二问的未知量的个数就是x有多少种吗？

君特内策尔

1个自由未知量取1 2个自由未知量取(1,0),(0,1) 3个自由未知量取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 。。。 这是最简单的一种取法. 有时为了使解向量中不出现分数, 可以把1换成任一非零的数k. x1,x2,...,xn 这是未知量, 未知量的个数就是n 题1中是4, 題中是3

我们都是孤单的人

1再让自由未知量取一组 线性无关的数, 得到的一组解就是基础解系,怎么取线性无关的数啊？麻烦举例详解。 2 1 (1,0),(0,1) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是什么意思啊？ 见笑了，追加10金。。。

君特内策尔

在上面的题目中, 自由未知量是 x2,x4 是2个自由未知量的情况. 让 (x2,x4) 取 (1,0), (0,1) 得基础解系 a1=(-2,1,0,0)', a2=(1,0,0,1)'. 即 x2=0,x4=1 代入方程, 得解 a1. x2=1,x4=0 代入方程, 得解 a2.

我们都是孤单的人

即 x2=0,x4=1 代入方程, 得解 a1. x2=1,x4=0 代入方程, 得解 a2 ?哪个方程？？得出基础解系是解什么用的啊？？ 即 x2=0,x4=1 代入方程, 得解 a1是对应（1，0）那个吗？怎么解出的啊？？ 你这阵这么耐心，太感动了，想给你追分提高悬赏分次数，数到上限了，以后多给你分累计100时抽ipad吧！（或许你早有了。。。）呵呵

君特内策尔

上面题目中解到: 得同解方程组: x1 = -2x2+x4 x3 = 0 x2=1,x4=0 代入得解 (-2,1,0,0)' x2=1,x4=1 代入得解 (1,0,0,1)' 所以原方程组的基础解系为 : a1=(-2,1,0,0)', a2=(1,0,0,1)' 所以原方程组的全部解为: c1(-2,1,0,0)' + c1(1,0,0,1)', c1,c2 为任意常数. [这就是基础解系的用处, 任一解都可表示成基础解系的线性组合]

我们都是孤单的人

哦，看来我没说清 x2=1,x4=0 代入得解 (-2,1,0,0)' x2=1,x4=1 代入得解 (1,0,0,1)' 是怎么代的？？ x2=1,x4=0 x2=1,x4=1是怎么得的？我不会用 是那个一个自由未知量时1，两个自由未知量（0，1），（1，0）那个吗？？我不知道你说的代入得解是怎么代的，求详细步骤。。。

君特内策尔

同解方程组: x1 = -2x2+x4 x3 = 0 x2=1,x4=0 代到上面的方程中, 得 x1=-2, x3=0 写在一起 (x1,x2,x3,x4)' = (-2,1,0,0)' 另一个同样可得. 超过3次追问, 每次系统扣10分的, 不如另提问题.

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