已知f（x）=ax2+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-[5/2]．求证：a≠0且

已知f（x）=ax²+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-[5/2]．求证：a≠0且|[b/a]|＜2． kk1985 1年前他留下的回答 已收到1个回答

housework 网友

该名网友总共回答了20个问题，此问答他的回答如下：采纳率：80%

解题思路：先反设，再分情况进行讨论，即可证明．

证明：由a+c=0，可得c=-a，故f（x）=ax²+bx+（-a）．
假设a=0或|[b/a]|≥2．
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上单调，
因此f（x）最大值为|b|，最小值为-|b|．
∴

|b|＝2
−|b|＝−
5
2，矛盾表明a≠0；
（2）由|[b/a]|≥2得|−
b
2a|≥1且a≠0．
∴区间[-1，1]位于抛物线f（x）=ax²+bx-a的对称轴x=−
b
2a的左侧或右侧．
因此，f（x）在[-1，1]上单调，其最大值为|b|，最小值为-|b|，这是不可能的．
由此可知假设不成立，原命题成立，即a≠0且|[b/a]|＜2．
综上，a≠0且|[b/a]|＜2．

点评：
本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

1年前他留下的回答

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