求因式分解的简便方法有急用,谢谢

acth1213 1年前他留下的回答 已收到1个回答

尚平凡 网友

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这是竞赛中的快速方法分组分解法 　　分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识. 　　能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法. 　　比如： 　　ax+ay+bx+by 　　=a(x+y)+b(x+y) 　　=(a+b)(x+y) 　　我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难. 　　同样,这道题也可以这样做. 　　ax+ay+bx+by 　　=x(a+b)+y(a+b) 　　=(a+b)(x+y) 　　几道例题： 　　1. 5ax+5bx+3ay+3by 　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b) 　　=(5x+3y)(a+b) 　　说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出. 　　2. x3-x2+x-1 　　解法：=(x^3-x2)+(x-1) 　　=x2(x-1)+ (x-1) 　　=(x-1)(x2+1) 　　利用二二分法,提公因式法提出 x2,然后相合轻松解决. 　　3. x2-x-y2-y 　　解法：=(x2-y2)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y-1) 　　利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决. 十字相乘法 　　这种方法有两种情况. 　　①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 　　②kx2+mx+n型的式子的因式分解 　　如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 　　图示如下： 　　a b 　　╳ 　　c d 　　例如：因为 　　1 -3 　　╳ 　　7 2 　　-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 　　所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 　　十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中 拆项、添项法 　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)． 配方法 　　对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 　　例如：x2+3x-40 　　=x2+3x+2.25-42.25 　　=(x+1.5)2-(6.5)2 　　=(x+8)(x-5)． 应用因式定理 　　对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a． 　　例如：f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.(事实上,x2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数； 　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数 换元法 　　有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法. 相关公式 注意:换元后勿忘还元. 　　例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时,可以令y=x2+x,则 　　原式=(y+1)(y+2)-12 　　=y2+3y+2-12=y2+3y-10 　　=(y+5)(y-2) 　　=(x2+x+5)(x2+x-2) 　　=(x2+x+5)(x+2)(x-1)． 　　也可以参看右图. 求根法 　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0, 　　则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1． 　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． 图象法 　　令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 　　与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确. 　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 　　作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． 主元法 　　先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 特殊值法 　　将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则 　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105, 　　将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ． 　　注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此. 待定系数法 　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相关公式 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1, 　　ac+b+d=-5, 　　ad+bc=-6, 　　bd=-4． 　　解得a=1,b=1,c=-2,d=-4． 　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 　　也可以参看右图. 双十字相乘法 　　双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法. 　　双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下: 　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f 　　x、y为未知数,其余都是常数 　　用一道例题来说明如何使用. 　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 　　分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解. 　　图如下,把所有的数字交叉相连即可 　　x 2y 2 　　① ② ③ 　　x 3y 6 　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 　　双十字相乘法其步骤为： 　　①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； 　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； 　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错. 　　利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 　　例：对于二次多项式 aX^2+bX+c(a≠0) 　　aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X]. 　　当△=b^2-4ac≥0时, 　　=a(X^2-X1-X2+X1X2) 　　=a(X-X1)(X-X2).

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