线性代数求基础解系若有-x1+x2+2x3=0,有基础解系为t1=（1,-1,1）^T,t2=(1,1,0)^T.为何不

线性代数求基础解系
若有-x1+x2+2x3=0,有基础解系为t1=（1,-1,1）^T,t2=(1,1,0)^T.为何不能是t1=（1,1,0）^T,t2=(,0,-2,1)^T?如果必须要化为前一种,应当怎样做?
我是说如果必须要从-x1+x2+2x3=0得到t1=（1，-1，1）^T,t2=(1，0)^T这一结果，当如何做？ szrabby 1年前他留下的回答 已收到2个回答

ruirui1 网友

该名网友总共回答了21个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

两种本质上是一样的
记t1=(1,-1,1)^T,t2=(1,1,0)^T
s1=(1,1,0)^T,s2=(0,-2,1)^T
则有(s1,s2)=(t1,t2)A
这里A是2阶可逆方阵 0 1
1 -1
即具体转换为s1=0·t1+1·t2=t2,
s2=1·t1-1·t2=t1-t2
你做成任意一个都是对的,不是必须要某一个特定的解
但是你非要(1,-1,1)^T,(1,1,0)^T这一结果,只需形式上去凑就可以了
比如-x1+x2+2x3=0,则可变形等价为
x1=x3+(x2+x3) x1=1·x3+1·(x2+x3)
x2=-x3+(x2+x3) 即 x2=-1·x3+1·(x2+x3)
x3=x3 x3=1·x3+0·(x2+x3)
记e1=x3,e2=x2+x3,写成矩阵形式即
(x1,x2,x3)^T=e1(1,-1,1)^T+e2(1,1,0)^T
∴得到基础解系为t1=(1,1,0)^T,t2=(0,-2,1)^T
不同的等价变形可以得到不同的基础解系,按结果都是正确的

1年前他留下的回答 追问

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szrabby

是这么个情况。老师说最好按什么取阶梯头的方式得到基础解系，否则在求正交变换时会因基础解系不同而得到不同结果，即使正确，考试中也很有可能扣分。(1,-1,1)^T,(1,1,0)^T是答案的结果，应当是按标准步骤得到的值。所以我想问怎样从一开始就按照一定的标准步骤得到这一值（似乎是化为约化阶梯阵）。你只要能给出说明我马上就采纳。

ruirui1

这个没有什么”标准“步骤，只是因为你刚开始学，为了让初学者更容易理解和计算，所以就会用相对容易理解和普遍通用的方法教学，也就是你说的将矩阵化为阶梯阵。 但是有些特殊的题目可能会有更简洁的方法来做，这个要等你理解了才能灵活应用。 至于这个你要用阶梯阵来做，那么通常是这样的：将系数矩阵(-1,1,2)乘以-1便得到阶梯阵(1,-1,-2)，∴有x1=x2+2x3，x2=x2，x3=x3。即(x1,x2,x3)^T=x2(1,1,0)^T+x3(2,0,1)^T。∴由此得到基础解系为(1,1,0)和(2,0,1)。也并不是(1,1,0)和(1,-1,1)。 因为这个方程-x1+x2+2x3=0过于简单，很容易看出(1,1,0)和(1,-1,1)是它的两个解，且显然线性无关，所以(1,1,0)和(1,-1,1就是基础解系，当然你可以随便写任意两个线性无关的解出来，都可以说是基础解系。 并没有所谓的“标准”步骤得到(1,1,0)和(1,-1,1) 答案写的一组基础解系不一定就是说非要用某种特定的方法去做，不同的作者会给出不同的答案，只是通常一般情形下，阶梯阵是个有效的解题方法，但不是唯一的。学习的时候最好重点要理解这些方法的含义，学以所用。

ttkk使者 网友

该名网友总共回答了18个问题，此问答他的回答如下：采纳率：88.9%

把后面的t1做为t2，t1加上t2做为t1就变成前面的了；两个基础解的任意线性组合都还是基础解，前后是一样的。
如果写成向量形式，假设前面的写成c1t1+c2t2，那么后面的就写成c1t1+(c2-1)t2，因为c1、c2为任意实数，所以前后实质是一样。

1年前他留下的回答

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