F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数

yeunguo 1年前他留下的回答 已收到2个回答

首乌 网友

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F(x) = ∫[0,x] (x﹣2t) e^(﹣t²) dt 变上限定积分
= x ∫[0,x] e^(﹣t²) dt ﹣ ∫[0,x] 2t e^(﹣t²) dt
1.F(﹣x) = ﹣x ∫[0,﹣x] e^(﹣t²) dt ﹣ ∫[0,﹣x] 2t e^(﹣t²) dt 在积分中 令 u = ﹣x
= ﹣x ∫[0,x] e^(﹣u²) (-1)du ﹣ ∫[0,x] 2(﹣u) e^(﹣u²) (-1)du
= x ∫[0,x] e^(﹣u²) du ﹣ ∫[0,x] 2u e^(﹣u²) du
= F(x)
∴ F(x)是偶函数
2.当 x > 0,
F '(x) = ∫[0,x] e^(﹣t²) dt + x e^(﹣x²) ﹣ 2x e^(﹣x²)
= ∫[0,x] e^(﹣t²) dt ﹣ x e^(﹣x²)
= x [ e^(﹣ξ²) ﹣ e^(﹣x²) ] 积分中值定理,0 < ξ < x
> 0
∴ F(x)在x>0是增函数.

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yunji521 网友

该名网友总共回答了841个问题，此问答他的回答如下：

F(-x)=∫(-x,0)(1x-2t)e^(-t^2)dt，令t=-y代入得：
F(-x)=∫(-x,0)(1x-2t)e^(-t^2)dt=∫(x,0)(x-2y)e^(-y^2)dy=F(x)，所以F(x)是偶函数。
又：F(x)=x∫e^(-t^2) dt-∫2te^(-t^2) dt，所以：
F'(x)=∫e^(-t^2) dt+xe^(-x^2)...

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