如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，棱PA垂直底面ABC，PA=AB=4，BD=[

如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，棱PA垂直底面ABC，PA=AB=4，BD=[3/4]BP，CE=[3/4]BC，F是AB的中点．

（1）证明DE∥平面ABC；
（2）证明：BC⊥平面PAC；
（3）求四棱锥C-AFDP的体积． tootootoo-0575 1年前他留下的回答 已收到1个回答

sea_air21 网友

该名网友总共回答了31个问题，此问答他的回答如下：采纳率：83.9%

解题思路：（1）根据等比例线段定理可得BC∥DE，由线面平行的判定定理可证DE∥平面ABC；（2）由∠ACB=90°得AC⊥BC，又根据棱PA垂直底面ABC，可得PA⊥BC，利用线面垂直的判定定理可证BC⊥平面PAC；（3）过D作DG⊥AB于F，则DG∥PA，可证DG为三棱锥D-BCF的高，又四棱锥C-AFDP的体积V=VP-ABC-VD-BCF，分别计算两个三棱锥的体积，作差可得答案．

（1）证明：∵BD=[3/4BP，CE=
3
4BC，∴
PD
PB=
PE
PC]，
∴DE∥BC．
又∵DE⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，F是AB的中点，∴FC⊥AB，FC=[1/2AB=2，
∴S△BCF=
1
2CF•BF=2．
过D作DG⊥AB于F，则DG∥PA，
∴DG⊥平面ABC，且DG为三棱锥D-BCF的高，
又BD=
3
4BP，∴DG=
3
4PA=3．
∴三棱锥D-BCF的体积为V_D-BCF=
1
3S△BCF•DG=
1
3×2×3=2．
又三棱锥P-ABC的体积为
VP-ABC=
1
3S△ABC•PA=
1
3×
1
2AB•CF•PA=
1
3×
1
2×4×2×4=
16
3]．
∴四棱锥C-AFDP的体积V=V_P-ABC-V_D-BCF
=[16/3-2=
10
3]．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查了用间接法求棱锥的体积，考查了线面平行与线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．

1年前他留下的回答

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