已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．

huahuas1 1年前他留下的回答 已收到4个回答

旅行中的可乐 网友

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：88.2%

解题思路：我们先假设，a+b=1再证明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命题的必要性，再假设a³+b³+ab-a²-b²=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=(a-
1
2b)2+
3
4b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0

点评：
本题考点： 充要条件；综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．

1年前他留下的回答

9

叶子-11 网友

该名网友总共回答了1个问题，此问答他的回答如下：

充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1 a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0 因ab≠0，所a≠0,b≠0, (a-b/2)^2+3b^2/4>0 所a+b-1=0,a+b=1

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2

南方的云飘在北方 网友

该名网友总共回答了4个问题，此问答他的回答如下：

。。。。。。。。。。。。。。

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2

朗娃子 网友

该名网友总共回答了2个问题，此问答他的回答如下：

先证明必要性
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=（a+b)^3-3(a^2)b-3a(b^2)-(a+b)^2+3ab
=(a+b)^3-(a+b)^2-3ab(a+b-1)
因为a+b=1
所以上式=1-1-0=0
充分性同样的证明，反过来就行，注意ab不等于0，就只有a+b=1

1年前他留下的回答

1

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