已知椭圆x2/3+y2=1,过点N（1,0）能否作直线l,使直线l与椭圆的两个交点P,Q,且向量OP*向量OQ=0?

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雪山不归客 网友

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假设过点N（1,0）能否作直线l,使直线l与椭圆的两个交点P,Q,且向量OP*向量OQ=0．设直线l的方程为x=my+1,设P（x1,y1）、Q(x2,y2）．把x=my+1代入x2/3+y2=1,整理得
(m^2+3)y^2+2my-2=0,所以y1+y2=-2m/(m^2+3),y1*y2=-2/(m^2+3),所以x1*x2=(m*y1+1)(m*y2+1)=m^2*(y1*y2)+m(y1+y2)+1=m^2*[-2/(m^2+3)]+m[-2m/(m^2+3)]+1=-4*(m^2)/(m^2+3)+1,
由向量OP*向量OQ=0得x1*x2+y1*y2=0,即【4*(m^2)/(m^2+3)+1】+[-2/(m^2+3)]=0,去分母,化简得m^2=1/3,所以
m= =√3/3或=-√3/3,所以直线l的方程为x=（√3/3）*y+1或x=（-√3/3）*y+1,
所以过点N（1,0）能作直线l,使直线l与椭圆的两个交点P,Q,且向量OP*向量OQ=0．

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