两矩阵等价和两向量组等价的区别和联系是什么?为什么都叫等价?是互为充分必要条件吗?

Peacefulman 1年前他留下的回答 已收到1个回答

651499762702-ab 网友

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两个矩阵等价就是说其中一个矩阵经过一系列初等变化可以变为另一个举证,两向量组等价就是说其中一个向量组中的每一列元素都可以让另一个向量组中的元素线性表示出来.你在证明两个矩阵等价时所作的那些行变化或者是列变化其实就是在把其中一个矩阵中的那些行或者列在线性表示另外一个矩阵中的行或列.

1年前他留下的回答 追问

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Peacefulman

那就是说矩阵等价是相应的向量组等价的充分必要条件?因为矩阵等价与 r(A)=r(B)是充分必要条件，所以 r(A)=r(B)能推出相应的向量组等价？不能吧?

Peacefulman

想明白了，谢谢

651499762702-ab

反过来不能的哦 我在别的地方看到的看能不能帮到你。 ********矩阵等价与向量组等价有如下关系： 1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类 338页有说明及具体反例） 2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以 不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数） ********在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？ 若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为 （α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q -1，有A=BQ -1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。 同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。 矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注） ********在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？ 若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价） 要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。

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