换元法求值域的具体方法

恋人海 1年前他留下的回答 已收到1个回答

beijing20060502 花朵

该名网友总共回答了14个问题，此问答他的回答如下：采纳率：92.9%

哎,我把你认为是另一个提很多问题的人了!现在让我给你参考参考：
首先,为什么我们要换元：是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决.
举个例子：求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手,有一定难度,但我们可以假设：
t=√(1-x),反解出：x=1-t^2,(注意：t≥0,"√"代表根号）
所以原式等价于：y=1-t^2+t=-t^2+t+1（二次函数是我们所熟悉的）,其值域为：
（-∞,5/4].
任何数学变换都要遵循一个原则（理）：等价变换.
为什么等价：以y=x+√(1-x)为例,原式x的取值范围为：x≤1;
它是受√(1-x）所约束的,说简单点,x 的值是由√(1-x）≥0解得的,但是我们没有必要求出x的值,因为我们的目的是要求值域,而不是定义域.这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思（t≥0等价于x≤1）,接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子,原来的根号就消失了,式子变得简单了.
那为什么值又没有扩大或是缩小呢：
既然定义域都没有变,那值域怎么会变呢,我们只是用t去等量代替√(1-x）,从而避免根号这个“障眼法”,而使问题变得简洁.（换元法的最终目的是使复杂式子简单化,也就是更容易看懂）
（重点参考：等价变换实际上是定义域不变的代换,定义不变,值也就不变.换元法求值域就好比你要从A地到B地,但是路有很多条,但是只有一条比较好走,而你选择的就是那一条好走的路,殊途同归,实际都能到达）

1年前他留下的回答

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