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已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．

网站编辑：上海建站网　发布时间：2022-05-13 　点击数：次

导读：已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x1）．已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x1）．（Ⅰ）试判断F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞2a(b−a)a2+b2． xiaomei8848 1年前他留下的回答已收到1个回答...

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
（Ⅰ）试判断F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞

2a(b−a)

a2+b2

． xiaomei8848 1年前他留下的回答已收到1个回答

失落的港湾网友

该名网友总共回答了21个问题，此问答他的回答如下：采纳率：95.2%

解题思路：（I）根据已知求出F（x）的解析式及其导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可判断出函数的单调性；
（II）结合（I）中函数的单调性，可得，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞[2x−2x2+1，当0＜a＜b时，令x=

b/a]，代入可得结论．

（I）∵函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）的定义域为[1，+∞）
∴F′（x）=2xlnx+
x2+1
x-2=2xlnx+
(x−1)2
x
当x≥1时，F′（x）≥0恒成立
故函数F（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）在定义域[1，+∞）上为增函数
（II）由（1）知，当x＞1时，F（x）＞F（1）=0
即当x＞1时，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0

∴lnx＞[2x−2
x2+1…①
令x=
b/a]，当0＜a＜b时，[b/a]＞1
由①可得ln[b/a]=lnb-lna＞
2×
b
a−2
(
b
a)2+1=
2a(b−a)
a2+b2
∴当0＜a＜b时，f（b）-f（a）＞
2a(b−a)
a2+b2．

点评：
本题考点：利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法．

考点点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，其中（I）的关键是熟练掌握导数法求函数单调性的步骤，（II）的关键是得到lnx＞2x−2x2+1．

1年前他留下的回答

6 [db:内容2]

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