导读：操作步骤/方法【方法1】1平面中两个坐标轴上的变量x和y之间的关系：垍2F(x,y)=0垍3构成一个平面曲线。4三维空间中，三个坐标轴上的变量x、y和z之间的关系：5F(x,y,z)=06构成一个曲面。7两个曲面的交线，就是我们将要讨论的主角空间曲线：8F₁(x,y,z)=0垍9F₂(x,y,z)=010当F₁满足隐函数定理的条件时，我们可以从方程1中解出：11z=G(x,y)12代入方程2得到：...
操作步骤/方法
【方法1】
1
平面中两个坐标轴上的变量x和y之间的关系：垍
2
F(x,y)=0垍
3
构成一个平面曲线。
4
三维空间中，三个坐标轴上的变量x、y和z之间的关系：
5
F(x,y,z)=0
6
构成一个曲面。
7
两个曲面的交线，就是我们将要讨论的主角空间曲线：
8
F₁(x,y,z)=0垍
9
F₂(x,y,z)=0
10
当F₁满足隐函数定理的条件时，我们可以从方程1中解出：
11
z=G(x,y)
12
代入方程2得到：
13
G₂(x,y)=F₂(x,y,G(x,y))=0
14
同样，当G₂也满足隐函数定理的条件时，则存在：垍
15
y=H(x)
16
再，令x=t，最终就会得到，方程组：
17
x=x(t)=t垍
18
y=y(t)=H(t)
19
z=z(t)=G(t,H(t))
20
这就是，空间曲线的参数方程。将其写成向量函数形式为：垍
21
r(t)=(x(t),y(t),z(t))
22
曲线的参数表示法，最早是由欧拉引入的，它清楚的表明：
23
空间曲线r是从一维空间R到三维空间R³的映射。垍
24
也就是说，对于一维空间R中的每个点t都有三维空间R³中的点r(t)与之对应，所有的这些点r(t)，构成整个曲线。垍
25
空间曲线r，在每一个点p点处的导数，定义为：
26
r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))
27
它是p处的切向量，表示曲线在该点处的变化。
28
如果，将空间曲线r的参数t看成时间轴，则曲线就是质点m的运动轨迹，而p处的切向量r'(t)，就是m在p点处的瞬时速度，r'(t)的方向是速度方向，|r'(t)|是速度块慢。
29
高斯他们很早就发现：曲线参数的选取和曲线的形状无关，也就是说，随着参数选取不同，构成曲线的点并没有改变，改变的仅仅从R的点到曲线的点的对应关系。
30
例如，对于曲线，r(t)=(t³,t,0)，我们令，t=At，得到：
31
r(At)=((At)³,At,0)
32
改变A相当于我们选取了不同的参数t，见如下动图：
33
图中，我们可以看到，随着A的变化，曲线形状不变，只有t=1,2,3所对应的曲线内位置在改变。
34
正因为，曲线形状保持不变，所以曲线在任何一点p处的切线也是固定不变，从而，p点处的切向量方向同样不变，如上图，所改变的仅仅是切向量的长度，因为它表示，曲线弧长随参数的变化率，也就是，上面的质点m运动速度的快慢。
35
图中，p=(1,1)点处与t=1/A对应，因此p处切向量为：
36
r'(1)=(3A³t²,A,0)|_{t=1/A}=(3A,A,0)
37
其方向向量为：
38
r'(1)/|r'(1)|=(3A,A,0)/√[(3A)²+A²+0]=(3/√10,1/√10,0)垍
39
显然和A无关。
40
为了，保证研究曲线的形状时，不受参数选择的影响，我们可以通过适当选择参数t=t(s)，使得r在新的参数下的向量函数r(s)=r(t(s))在每个点p的切向量r'(s)是单位向量，即|r'(s)|=1。称s为自然参数。垍
41
这样以来，令α(s)=r'(s)，α仅仅表示曲线的方向，于是，α'就是曲线方向的改变，其大小就表征曲线的弯曲程度，称为曲率，记为κ(s)=|α'(s)|。同时，令β(s)=α'(s)/|α'(s)|，来表弯曲方向。
42
因为：垍
43
α⋅α=|α|²=1
44
于是，
45
0=1'=(α⋅α)'=α'⋅α+α⋅α'=2α'⋅α
46
故，
47
α'⋅α=0垍
48
这说明α'⊥α，也就是β⊥α，于是称β和α所在平面为密切平面。
49
对于自然参数曲线r(s)，我们同样可以令s=s(t)，将r(s)，变回一般参数：
50
r(t)=r(s(t))
51
等式两边，关于t求导得到：垍
52
r'(t)=r'(s)s'(t)=α(s)s'(t)⋯①
53
于是，切向量方向为：
54
r'(t)/|r'(t)|=α(s)s'(t)/|α(s)s'(t)|=sing(s'(t))α(s)垍
55
可见，对于切向量方向，参数改变仅仅只能影响的正负定向。
56
而切向量大小为：垍
57
|r'(t)|=|α(s)s'(t)|=|α(s)||s'(t)|=|s'(t)|
58
可见，切向量大小，有完全由参数选择决定，和曲线r无关。
59
等式①两边，继续关于t求导得到：
60
r''(t)=(α(s)s'(t))'=(α(s))'s'(t)+α(s)s''(t)=α'(s)(s'(t))²+α(s)s''(t)
61
然后，我们将，等式两边分别与等式①两边叉乘，有：垍
62
r'(t)×r''(t)=α(s)s'(t)×(α'(s)(s'(t))²+α(s)s''(t))=(α(s)×α'(s))(s'(t))³+(α(s)×α(s))s'(t)s''(t)=(α(s)×α'(s))(s'(t))³
63
于是，
64
|r'(t)×r''(t)|=|(α(s)×α'(s))(s'(t))³|=|α(s)×α'(s)||s'(t)|³=|α(s)||α'(s)|sin∠αα'|s'(t)|³
65
根据，
66
|α(s)|=1,κ=|α'(s)|,α'⊥α，|s'(t)|=|r'(t)|
67
有，垍
68
|r'(t)×r''(t)|=κ|r'(t)|³垍
69
最终得到，一般参数曲线的曲率计算公式：
70
κ=|r'(t)×r''(t)|/|r'(t)|³
71
半径为r(≥0)，圆心在原点，位于XY平面的圆的向量函数为：
72
r(t)=(rcost,rsint,0)垍
73
于是，
74
r'(t)=(-rsint,rcost,0)垍
75
r''(t)=(-rcost,-rsint,0)垍
76
r'(t)×r''(t)=(0,0,(-rsint)(-rsint)-(-rcost)(rcost))=(0,0,r²)
77
|r'(t)×r''(t)|=r²
78
|r'(t)|=r
79
根据上面的曲率计算公式，我们就可以算出圆的曲率为：垍
80
κ=r²/r³=1/r
81
可见圆的曲率是一个常数。垍
82
设自然参数曲线r上p点的曲率为κ，我们称同样过p点位于密切平面的和r在p点共切线的，曲率是κ的圆为曲率圆，曲率圆的半径称为曲率半径。
83
因为圆的曲率为κ=1/r，所以，垍
84
曲率半径=1/κ
85
这就是曲率半径的计算公式。
86
关于，最初，例子中的曲线：垍
87
r(t)=(t³,t,0)
88
有：垍
89
r'(t)=(3t²,1,0)
90
r''(t)=(6t,0,0)垍
91
r'(t)×r''(t)=(0,0,-6t)
92
|r'(t)×r''(t)|=6|t|
93
|r'(t)|=√(9t⁴+1)
94
κ=6|t|/(√(9t⁴+1))³
95
于是，垍
96
曲率半径=(√(9t⁴+1))³/6|t|
97
总结：曲率半径就是1/κ，因此计算曲率半径的关键是计算曲线的曲率κ，
98
对于自然参数曲线r(s)，使用定义：κ(s)=|r''(s)|；
99
对于一般参数曲线r(t)，使用公式：κ(t)=|r'(t)×r''(t)|/|r'(t)|³。垍
100
补充（2020/4/1）：
101
如果平面曲线F(x,y)=0中的F满足隐函数定理条件，则存在函数：
102
y=f(x)
103
写成空间参数曲线形式为：垍
104
r(x)=(x,f(x),0)垍
105
于是：
106
r'(x)=(1,f'(x),0)
107
r''(x)=(0,f''(x),0)
108
r'(x)×r''(x)=(0,0,f''(x))
109
|r'(x)×r''(x)|=|f''(x)|垍
110
|r'(x)|=√(1+(f'(x))²)
111
最后，得到函数的曲率计算公式：
112
κ(x)=|f''(x)|/(√(1+(f'(x))²))³
113
最初的例子中，曲线对应的函数为：
114
y=x³
115
根据上面的公式，计算曲率为：
116
κ(x)=|6x|/(√(1+9x⁴))³
117
这与上面的计算结果一致。
118
上半边圆的函数为：
119
y=√(r²-x²)
120
根据上面的公式，计算曲率为：
121
κ(x)=|-(r²/(√(r²-x²))³|/(√(1+(-x/√(r²-x²))²))³=r²/(√(r²-x²))³/(√(r²/(r²-x²)))³=1/r
122
这也与上面的计算结果一致。
END
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