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曲率半径如何计算?

网站编辑:上海建站网 发布时间:2022-04-19  点击数:
导读:操作步骤/方法【方法1】1平面中两个坐标轴上的变量x和y之间的关系:垍2F(x,y)=0垍3构成一个平面曲线。4三维空间中,三个坐标轴上的变量x、y和z之间的关系:5F(x,y,z)=06构成一个曲面。7两个曲面的交线,就是我们将要讨论的主角空间曲线:8F₁(x,y,z)=0垍9F₂(x,y,z)=010当F₁满足隐函数定理的条件时,我们可以从方程1中解出:11z=G(x,y)12代入方程2得到:...
曲率半径如何计算?

操作步骤/方法

【方法1】

1 平面中两个坐标轴上的变量x和y之间的关系:垍 2 F(x,y)=0垍 3 构成一个平面曲线。 4 三维空间中,三个坐标轴上的变量x、y和z之间的关系: 5 F(x,y,z)=0 6 构成一个曲面。 7 两个曲面的交线,就是我们将要讨论的主角空间曲线: 8 F₁(x,y,z)=0垍 9 F₂(x,y,z)=0 10 当F₁满足隐函数定理的条件时,我们可以从方程1中解出: 11 z=G(x,y) 12 代入方程2得到: 13 G₂(x,y)=F₂(x,y,G(x,y))=0 14 同样,当G₂也满足隐函数定理的条件时,则存在:垍 15 y=H(x) 16 再,令x=t,最终就会得到,方程组: 17 x=x(t)=t垍 18 y=y(t)=H(t) 19 z=z(t)=G(t,H(t)) 20 这就是,空间曲线的参数方程。将其写成向量函数形式为:垍 21 r(t)=(x(t),y(t),z(t)) 22 曲线的参数表示法,最早是由欧拉引入的,它清楚的表明: 23 空间曲线r是从一维空间R到三维空间R³的映射。垍 24 也就是说,对于一维空间R中的每个点t都有三维空间R³中的点r(t)与之对应,所有的这些点r(t),构成整个曲线。垍 25 空间曲线r,在每一个点p点处的导数,定义为: 26 r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) 27 它是p处的切向量,表示曲线在该点处的变化。 28 如果,将空间曲线r的参数t看成时间轴,则曲线就是质点m的运动轨迹,而p处的切向量r'(t),就是m在p点处的瞬时速度,r'(t)的方向是速度方向,|r'(t)|是速度块慢。 29 高斯他们很早就发现:曲线参数的选取和曲线的形状无关,也就是说,随着参数选取不同,构成曲线的点并没有改变,改变的仅仅从R的点到曲线的点的对应关系。 30 例如,对于曲线,r(t)=(t³,t,0),我们令,t=At,得到: 31 r(At)=((At)³,At,0) 32 改变A相当于我们选取了不同的参数t,见如下动图: 33 图中,我们可以看到,随着A的变化,曲线形状不变,只有t=1,2,3所对应的曲线内位置在改变。 34 正因为,曲线形状保持不变,所以曲线在任何一点p处的切线也是固定不变,从而,p点处的切向量方向同样不变,如上图,所改变的仅仅是切向量的长度,因为它表示,曲线弧长随参数的变化率,也就是,上面的质点m运动速度的快慢。 35 图中,p=(1,1)点处与t=1/A对应,因此p处切向量为: 36 r'(1)=(3A³t²,A,0)|_{t=1/A}=(3A,A,0) 37 其方向向量为: 38 r'(1)/|r'(1)|=(3A,A,0)/√[(3A)²+A²+0]=(3/√10,1/√10,0)垍 39 显然和A无关。 40 为了,保证研究曲线的形状时,不受参数选择的影响,我们可以通过适当选择参数t=t(s),使得r在新的参数下的向量函数r(s)=r(t(s))在每个点p的切向量r'(s)是单位向量,即|r'(s)|=1。称s为自然参数。垍 41 这样以来,令α(s)=r'(s),α仅仅表示曲线的方向,于是,α'就是曲线方向的改变,其大小就表征曲线的弯曲程度,称为曲率,记为κ(s)=|α'(s)|。同时,令β(s)=α'(s)/|α'(s)|,来表弯曲方向。 42 因为:垍 43 α⋅α=|α|²=1 44 于是, 45 0=1'=(α⋅α)'=α'⋅α+α⋅α'=2α'⋅α 46 故, 47 α'⋅α=0垍 48 这说明α'⊥α,也就是β⊥α,于是称β和α所在平面为密切平面。 49 对于自然参数曲线r(s),我们同样可以令s=s(t),将r(s),变回一般参数: 50 r(t)=r(s(t)) 51 等式两边,关于t求导得到:垍 52 r'(t)=r'(s)s'(t)=α(s)s'(t)⋯① 53 于是,切向量方向为: 54 r'(t)/|r'(t)|=α(s)s'(t)/|α(s)s'(t)|=sing(s'(t))α(s)垍 55 可见,对于切向量方向,参数改变仅仅只能影响的正负定向。 56 而切向量大小为:垍 57 |r'(t)|=|α(s)s'(t)|=|α(s)||s'(t)|=|s'(t)| 58 可见,切向量大小,有完全由参数选择决定,和曲线r无关。 59 等式①两边,继续关于t求导得到: 60 r''(t)=(α(s)s'(t))'=(α(s))'s'(t)+α(s)s''(t)=α'(s)(s'(t))²+α(s)s''(t) 61 然后,我们将,等式两边分别与等式①两边叉乘,有:垍 62 r'(t)×r''(t)=α(s)s'(t)×(α'(s)(s'(t))²+α(s)s''(t))=(α(s)×α'(s))(s'(t))³+(α(s)×α(s))s'(t)s''(t)=(α(s)×α'(s))(s'(t))³ 63 于是, 64 |r'(t)×r''(t)|=|(α(s)×α'(s))(s'(t))³|=|α(s)×α'(s)||s'(t)|³=|α(s)||α'(s)|sin∠αα'|s'(t)|³ 65 根据, 66 |α(s)|=1,κ=|α'(s)|,α'⊥α,|s'(t)|=|r'(t)| 67 有,垍 68 |r'(t)×r''(t)|=κ|r'(t)|³垍 69 最终得到,一般参数曲线的曲率计算公式: 70 κ=|r'(t)×r''(t)|/|r'(t)|³ 71 半径为r(≥0),圆心在原点,位于XY平面的圆的向量函数为: 72 r(t)=(rcost,rsint,0)垍 73 于是, 74 r'(t)=(-rsint,rcost,0)垍 75 r''(t)=(-rcost,-rsint,0)垍 76 r'(t)×r''(t)=(0,0,(-rsint)(-rsint)-(-rcost)(rcost))=(0,0,r²) 77 |r'(t)×r''(t)|=r² 78 |r'(t)|=r 79 根据上面的曲率计算公式,我们就可以算出圆的曲率为:垍 80 κ=r²/r³=1/r 81 可见圆的曲率是一个常数。垍 82 设自然参数曲线r上p点的曲率为κ,我们称同样过p点位于密切平面的和r在p点共切线的,曲率是κ的圆为曲率圆,曲率圆的半径称为曲率半径。 83 因为圆的曲率为κ=1/r,所以,垍 84 曲率半径=1/κ 85 这就是曲率半径的计算公式。 86 关于,最初,例子中的曲线:垍 87 r(t)=(t³,t,0) 88 有:垍 89 r'(t)=(3t²,1,0) 90 r''(t)=(6t,0,0)垍 91 r'(t)×r''(t)=(0,0,-6t) 92 |r'(t)×r''(t)|=6|t| 93 |r'(t)|=√(9t⁴+1) 94 κ=6|t|/(√(9t⁴+1))³ 95 于是,垍 96 曲率半径=(√(9t⁴+1))³/6|t| 97 总结:曲率半径就是1/κ,因此计算曲率半径的关键是计算曲线的曲率κ, 98 对于自然参数曲线r(s),使用定义:κ(s)=|r''(s)|; 99 对于一般参数曲线r(t),使用公式:κ(t)=|r'(t)×r''(t)|/|r'(t)|³。垍 100 补充(2020/4/1): 101 如果平面曲线F(x,y)=0中的F满足隐函数定理条件,则存在函数: 102 y=f(x) 103 写成空间参数曲线形式为:垍 104 r(x)=(x,f(x),0)垍 105 于是: 106 r'(x)=(1,f'(x),0) 107 r''(x)=(0,f''(x),0) 108 r'(x)×r''(x)=(0,0,f''(x)) 109 |r'(x)×r''(x)|=|f''(x)|垍 110 |r'(x)|=√(1+(f'(x))²) 111 最后,得到函数的曲率计算公式: 112 κ(x)=|f''(x)|/(√(1+(f'(x))²))³ 113 最初的例子中,曲线对应的函数为: 114 y=x³ 115 根据上面的公式,计算曲率为: 116 κ(x)=|6x|/(√(1+9x⁴))³ 117 这与上面的计算结果一致。 118 上半边圆的函数为: 119 y=√(r²-x²) 120 根据上面的公式,计算曲率为: 121 κ(x)=|-(r²/(√(r²-x²))³|/(√(1+(-x/√(r²-x²))²))³=r²/(√(r²-x²))³/(√(r²/(r²-x²)))³=1/r 122 这也与上面的计算结果一致。 END

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